MATEMATICAS 24 (2)

UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL

FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

CARRERA DE INGENIERÍA QUÍMICA

ESTUDIANTE: BOLÍVAR DANIEL GUZMÁN WONG

MATERIA: MATEMÁTICAS

DOCENTE: Ing. MANUEL FIALLOS

CURSO: 1 semestre B

FECHA: 11/12/2015

DEBER DE PARÁBOLA

 Ejercicios de Lehmann

Grupo #24

8. Hallar la ecuación de la recta de la parábola cuyos vértices y foco son los puntos V(3,3) y F(3,1), respectivamente. Hallar también la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto

(x-b)^2=4p(y-k)

V(3,3)                      h=k=3

p=(VF) ̅=1-3=-2

〖Ecuación de la recta(X-3)〗^2=-8(Y-3)       

Y=K-p  Ecuación de la directriz L  y=5    

Lado recto     |LR|=4(-2)=8

9. La directriz de una parábola es la recta y-1=0, y su foco es el punto F(4,-3), Halla la ecuación de la parábola por dos métodos diferentes.

(x-h)^2=4p(y-k)    F(h.k+p)=F(4,-3)

       h=4     

{(k+p=-3 @ k-p=1)┤   

k-p=1

2k=-2     K=-2/2=-1

-1+p=-3   p=-3+1=2       

L:y=k-p      

Ecuación de la parábola(x-4)^2=-8(y+1)    

P(x,y)   |(PP) ̅ |=d(P,L ̅ )  √((x-4)^2+(y+3)^2 )= |y-1|  

(x-4)^2=-8(y+1)       

10. La directriz de una parábola es la recta x+5=0, y su vértice es el punto V(0,3). Hallar la ecuación de la parábola por dos métodos diferentes.

L:x+5=0   

(y-k)^2=4p(x-h)   V(0,3)

h=0   k=3 

L:x=h-p

{(h-p=-5@ 0-p=-5 )┤  

-2p=-10    p=-10/(-2)=5        

(y-3)^2=20(x-0)

En cada uno de los ejercicios 11-15, redúzcase la ecuación dada a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la parábola, y hallar las coordenadas del vértice y del foco, las ecuaciones de la directriz y eje, y la longitud del lado recto.

11. 4y^2-48x-20y=71  4(y^2-5y+25/4)=48x+71+25    (y-5/2)^2=12(x+2)  

 h=-2    k=5/2    4p=12    P=3   

a) Coordenadas del vértice   V(h,k)  V(-2,5/2)     

b) Foco     F(h+p,k)    F(1,5/2)   

c)Directris L:x=-5  

d) Ecuación del eje:  y=k    y=5/2  

e) d de lado recto    LR: |4p|=4(3)=12

12. 〖9x〗^2+24x+72y+16=0     9(x^2+8/3 x+16/9)=-72y-16+16  〖(x+4/3)〗^2=-8(y-0)  

h=-4/3  k=0  4p=-8  p=-8/4=-2   

a)Vértice  V(h,k)  V(-4/3,0)  

b)Foco F(h,k+p)  F(-4/3,-2)  

c)Directris  L:y=k-p y=-2   

d)Ecuación del eje  x=h   x=-4/3  

e) Longitud del lado recto LR=|4p|=4(-2)=-8

13. y^2+4x=7     y^2=7-4x       (y+0)^2=-4(x+7/4)     

h=-7/4    k=0   4p=-4   p=-4/4=-1  

a)Vértice V(7/4,0)  

b)Foco F(h+p,k)  F(3/4,0)  

c)Directris  L:x=7/4+1=11/4

d)Ecuación del eje  y=k  y=0  

e)Longitud del lado recto LR=|4p|=4(-1)=4

14. 44x^2+48y+12x=159            

44(x^2+3/11)=-48(y-53/16)             k=53/16    h=-3/11      p=-12/11

a)Vértice V(-3/11,53/16)

b)Foco F(h,k+p)   F(-3/11,-775/176)   

c)Directris  L:y=2(53/16)+775/176=11.02      y+1941/176=0

d)Ecuación del eje x=h x=-3/11 

e)Longitud del lado recto LR=|4p|=4(-3/4)=3        

24. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X y que pasa por los tres puntos      (0. 0). (8. - 4) y (3. 1).

P1 (0,0)

P2 (8,-4)

P3 (3,1)

(y-k)^2=4F(x-h)       

{(  1.  k^2=-4Fh@2.k^2+8k+16=32F-4Fh@〖3.k〗^2-2k+1=12F-4Fh)┤          

 {( 1.  k^2=-4Fh                .(-1)@2.k^2+8k+16=32F-4Fh)┤       

 1.〖-k〗^2-4Fh=0 

 2.k^2+4Fh+8k+16-32F=0  

   1.2.8k+16-32F=0   

  {(2.k^2+8k+16=32F-4Fh @〖3.k〗^2-2k+1=12F-4Fh)┤

  2.3.-10k-15+20F=0          

{(1.2.8k+16-32F=0     .(10)@  2.3.-10k-15+20F=0   .(8) )┤              

1.2  80k+160-320F=0  

2.3 -80k-120+160F=0   

1.2-2.3  40-160F=0  F=-40/(-160)=1/4   

1.2  8k+16-32F=0    

8k=-16+32(1/4)     k=-8/8=-1   

1.k^2+4Fh=〖-(-1)〗^2/4(1/4) =-1  h=-1    

(y+1)^2=(x+1)           y^2+2y-x=0

25. Hallar la ecuación de la parábola de vértice el punto (4,-1), eje la recta y+1=0 y que pasa por el punto (3,-3).

P1 (3,-3)      

(y+1)^2=4p(x-4)       

(-3+1)^2=4p(3-4)     

4=12p-16p  

4=-4p  

p=4/(-4)  

p=-1        

(y+1)^2=-4(x-4)

26. Demostrar, analíticamente que cualquier recta paralela al eje de una parábola corta a ésta  en uno y solamente en un punto.

y=c    y^2=4Fx     c^2=4Fx     x=c^2/4F    P(c,c^2/4F)      

p=20      V(0,0)   F(0,5)  

y-5=0     x=5^2/20=5/4        P(5,5/4)         

y=8         x=8^2/20=16/5     P1(8,16/5)   

y=23   x=〖23〗^2/20=529/20      P2(23,529/20)          

〖(x-0)〗^2=20(y-0)