Matemáticas 1B

UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL

FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

CARRERA DE INGENIERÍA QUÍMICA

ESTUDIANTE: BOLÍVAR DANIEL GUZMÁN WONG

MATERIA: MATEMÁTICAS

DOCENTE: Ing. MANUEL FIALLOS

CURSO: 1 semestre B

FECHA: 14/12/2015

TODAS LAS CLASES

Clase 1

Coordenadas Rectangulares

Puntos: A: 0

B B: 0

1. En qué cuadrante se encuentran los siguientes puntos:

Puntos: (0, -1)

2. En qué cuadrante se encuentran los siguientes puntos:

(√2,π+3)

√2=1

π+3=6,14

Punto

3. En qué cuadrante se encuentran los siguientes puntos:

Puntos: (-√8,π-5)

-√8=-2,82

π-5=-1,85

4. En qué cuadrante se encuentran los siguientes puntos:

Puntos: (4+√5,-5+√2) 4+√5=6,24 -5+√2=-3,58

4+√5=6,24

5. Demostrar que los puntos: P1 (-2, -1), P2 (2, 2) y P3 (5, -2) son los vértices de un triángulo isósceles.

Puntos: P1 (-2, -1) P2 (2, 2) P3 (5, -2)

(P1P2) ̅=〖√[2-(-2)]〗^2+[2-(-1)]^2 (P1P2) ̅=√(4)^2+(3)^2

(P1P2) ̅=√16+9 (P1P2) ̅=√25=5

(P2P3) ̅=√(5〖-2)〗^2+(-2-2)^2

(P2P3) ̅=√(〖3)〗^2+(-4)^2

(P2P3) ̅=√9+16

(P2P3) ̅=√25=5

(P1P3) ̅=〖√[5-(-2)]〗^2+[-2-(-1)]^2

(P1P3) ̅=√(7)^2+(-1)^2

(P1P3) ̅=√49+1 (P1P3) ̅

=√50=7,07

6. Demostrar que los puntos: P1 (0, 1), P2 (3, 5), P3 (7, 2) y P4 (4, -2) son los vértices de un cuadrado.
Puntos:
P1 (0, 1)
P2 (3, 5)
P3 (7, 2)
P4 (4, -2)
(P1P4) ̅=√4^2+3^2
(P1P4) ̅=√16+9
(P1P4) ̅=√25

(P1P4) ̅=5

(P2P3) ̅=√((7)-〖3)〗^2+(2-5)^2
(P2P3) ̅=√(4)^2+(〖-3)〗^2
(P2P3) ̅=√16+9 (P2P3) ̅=√25 (P2P3) ̅=5

(P4P3) ̅=√((7)-4^2+[2-(-2)]^2
(P4P3) ̅=√(3)^2+(〖4)〗^2
(P4P3) ̅=√9+16 (P4P3) ̅=√25 (P4P3) ̅=5

(P1P2) ̅=√((7)-4^2+[2-(-2)]^2
(P1P2) ̅=√(3)^2+(〖4)〗^2
(P1P2) ̅=√9+16 (P1P2) ̅=√25 (P1P2) ̅=5

-5+√2=-3,58

7. Determinar el punto medio de la recta comprendida entre el punto (3, 5) y el punto (7, 2).

Puntos:

P1 (3, 5)

P2 (7, 2)

X ̅=(X1+X2)/2=(3+5)/2=8/2=4

Y ̅=(Y1+Y2)/2=(7+2)/2=9/2=4.5

P ̅=(4,4.5)

8. Los puntos medios de los lados de un triángulo son: P1 (2, 5), P2 (4, 2) y P3 (1, 1). Hallar las coordenadas de los 3 vértices.

Puntos:

P1 (2, 5)

P2 (4, 2)

P3 (1, 1)

Pendiente

Puntos:

P1 (3, 3)

P2 (1, 3)

m=0

x_1=3

x_2=1

y_1=3

y_2=3 m=(Y2-Y1)/(X2-X1)=(3-3)/(1-3)=0/(-2)=0

1) h(x)= bx/2

h (x)= bx/2

m= b/2

2) Ax+By+C=0 y=?

By= -Ax-C

y= (-Ax-C)/B

y= (-Ax)/B-C/B

m=-A/B

2x+3y+5=0

m= -2/5

b=-5/3

3) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (1, 5) y tiene de pendiente 2.

Punto (1, 5)

m= 2

Ec. de la recta: Ax+By+C=0

m=(Y2-Y1)/(X2-X1)

2=(5-Y)/(1-X)

2(1-x)=5-Y

2-2X=5-Y

2X-Y+3=0

4) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (-6, 3) y tiene un ángulo de inclinación de 45°.

Punto: A (-6, 3)

45° 1=(Y+3)/(X+6)

Tag45°= op/ady=1/1=1 X+6=Y+3

m=1 X-Y+3=0

2X-Y+3=0

Clase 2

Ecuación de la recta que pasa por 2 puntos

Geométricamente queda perfectamente determinada por 2 cualesquiera de sus puntos, analíticamente la ecuación de una recta también queda perfectamente determinada conociendo las coordenadas de 2 cualesquiera de sus puntos.

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los 2 puntos:

A (4, 2) y B (-5, 7).

Ax+By+C=0

(y-y_1)= (y^2-y^1)/(x_2-x_1 )(x-x_1)

y-2=(7-2)/(-5-4)(x-4)

y-2= (-5)/9(x-4)

9 (y−2)= -5 (x-4) 9(y-7)= 5(x-5)

9y−18= -5x+20 9y-63=5x-25

5x+9y−38=0 9y-63+25=5x

9y-38-5x= 5x+9y-38

2. Los vértices de un cuadrilátero son: A (0, 0), B (2, 4), C (6, 7) y D (8, 0). Hallar la ecuación de sus lados.

Ax+By+C=0

A (0, 0) y B (2, 4)

(y-y_1)= (y^2-y^1)/(x_2-x_1 )(x-x_1)

y=4/2

y=2x

2x-y=0

B (2, 4) y C (6, 7)

(y-y_1)= (y^2-y^1)/(x_2-x_1 )(x-x_1)

y-4=(7-4)/(6-2) (x-2)

y-4=3/4(x-2)

4(y-4)=3(x-2)

4y-16=3x-6

-3x+4y= -6+16

3x-4y= -6+16

3x-4y+10=0

C (6, 7) y D (8, 0)

(y-y_1)= (y^2-y^1)/(x_2-x_1 )(x-x_1)

y-7=(0-7)/(8-6) (x-6)

y-7=(-7)/2 (x-6)

2(y-7)=-7(x-6)

2y-14= -7x+42

7x+2y-46=0

Ecuación Simétrica de la Recta

1. Sea A ≠0 B≠0 los segmentos de una recta determinada sobre los ejes x y y, es decir sus intercepciones, hallar la ecuación de la recta que pasa por los 2 puntos.

y-y1 =(y2-y1)/(x2-x1) (x-x1)

y-0=(b-0 )/(0-a) ((b-o)/(0-a))(x-a)

y=-b/a (x-a)

ay=-bx+ab

bx/ab+(ay )/ab=ab/ab=x/a+y/b=1

2. Los segmentos que una recta determina sobre los ejes x y y son 2, -3 respectivamente. Hallar su ecuación:

x/2-y/3=1

Ax+By+C=0

3x-2y-6=0

x/(2 )-y/3 =(3x-2y)/6

(3x-2y )/6=1

3x-2y=6

3x-2y-6=0

3. Una recta pasa por los 2 puntos A (-3,-1) y B (2,-6). Hallar su ecuación en la forma simétrica.

X1, Y1

A (-3,-1)

B (2, -6)

X2, y2

y-y1=(y2-y1)/(x2-x1)(x-x1) y+1=(-6+1)/(2+3)(x-x1)

y+6=(-6+1)/(2+3) (x-2) y+1=-5/5(x+3)

y+6=-1(x-2) y+1=-1(x+3)

y+6=2-x y+1=-x-3

x+y+4=0 x+y+4=0

x+y=-4

-x/4-1/(4 )=1

4. Una recta de pendiente -3 pasa por el punto A (-1, 4). Hallar su ecuación en la forma simétrica.

Pendiente m=-3

y-1=m(x-x1)

y-4=-3(x-(1))

y-4=-3x-3

3x+y=1

x/(1⁄3) +y/1 =1 a=1/3 b=1

x/1 x 3/1= 3x

5x+2y=1

x/(1⁄5)+y/(1⁄2)=1

a=1/5 b=1/2

Clase 3

Ejercicios en clase

1. Hallar el valor de K para que la recta Kx + (K-1)y-18=0 sea paralela a la recta 4x+3y+7=0.

Kx+ (K-1)y-18=0

4x+3y+7=0

4x+3y= -7

4x/(-7)+3y/(-7)=(-7)/(-7)

x/((-7)⁄4)+y/((-7)⁄3)=-1

a= (-7)/( 4)=-1.75

b= (-7)/( 3)=-2.33

m= -A/B

m=-4/3

m=K/((K-1))

m1=m2

(-4)/( 3)=(-K)/((K-1))

-4(K-1)=3(-K)

-4K+4=3K

3K+4K=4

7K=4

K=4

4x/7 (4/7-1)y-18=0

4x+3y-18=0

2. Determinar el valor de K para que la recta K^2 x+(K+1)y+3=0 sea perpendicular a la recta 3x-2y-11=0.

K^2 x+(K+1)y+3=0

3x-2y-11=0

3x-2y=11

x/(11⁄3)-y/((-11)⁄2)=11/11

a= 11/3=3.66

b= 11/2=-5.5

m1.m2= -1

m1= 3/2

m2= -2/3

m= 〖-K〗^2/((K+1) )

- ( 2)/( 3)=K^2/(K+1)

-2K-2 = -3K^2

-2 = -3K^2+2K

-2 = K (-3K+2)

-2=K -2=-3K+2

-4= -3K

4/3=K

-2=-3K^2+2

K= (2±2√7)/(2(3))

K= ((1±√7))/3

K_1=(1+√7)/3 K_2=(1-√7)/3

3. Hallar la pendiente, ángulo de inclinación y las intersecciones de la recta que pasa por el punto (2, 3) y es perpendicular a la recta 2x-7y+2=0

Punto: (2, 3)

2x-7y+2=0

2x-7y= --2

x/((-2)⁄2)-y/((-2)⁄7)=(-2)/(-2)

a=(-2)/2=-1

b=(-2)/7=0,28

m_1= 2/7

m= tangӨ

Ө=tang^(-1). m

Ө= tang^(-1). (2/7)

Ө= 15,94°

y-y_1= m_2(x-x_1)

y-3= -7/2(x-2)

2y-6= -7x+14

7x+2y-20=0

Clase 4

Demostrar que los ángulos suplementarios formado por Ax+By+c=0 está dado por la fórmula Tagϑ=(A^' B-AB')/(BB^'+AA')

Ax+By+C=0 m_1=-A/B

A’x+B’y+C’=0 m_2=-A'/B'

Tagϑ=(Tagβ_2-Tagβ_1)/(1+Tagβ_1 (Tagβ_2 ) )

m_2=Tagβ m_1=Tagβ_1

Tagϑ=(m_2-m_1)/(1+m_2 (m_1 )

Tagϑ=(-A^'/B^' +A/B)/(1-A^'/B^' (-A/B) )

Tagϑ=(A^' B-AB')/(B^' B+AA')

Distancia de una recta a un punto.

La recta de la distancia del punto a la recta es perpendicular a la recta.

Ax+By+C=0

P(x_1,y_1 ) m_1=-A/B m_2=B/A

Ecuación punto-pentiente y-y_1=m(x-x_1 ) y-y_1=B/A (x-x_1 ) Ax-〖Ay〗_1=Bx-〖Bx〗_1

{█(Ax+By+C=0 .(A/B) @Bx-Ay+〖Ay〗_1-〖Bx〗_1 )┤

A^2/B x+Ay+AC/B=0

Bx-Ay+〖Ay〗_1-〖Bx〗_1=0

(Bx+A^2)/B+AC/B+〖Ay〗_1-〖Bx〗_1=0

x((B^2+A^2)/B)=(B^2 x_1-AB〖y_1〗_AC)/B

x=(B^2 x_1-ABy_(1-AC))/(B^2+A^2 )

{█(Ax+By+C=0 .(-B/A)@Bx-Ay+Ay_1-Bx_1=0) ┤

y=(-BC-.A^2 y_1-ABx_1)/(B^2+A^2 )

d=√((x_1-(B^2 〖x_1〗_(ABy_1 )-AC)/(B^2+A^2 ))+(y_1-(-BC+A^2 y_1-Abx_1)/(B^2+A^2 )) )

d=√(〖〖(Ax〗_1+By+C)〗^2/((A^2+B^2 ) ))

d=(l〖(Ax〗_1+By+C)l)/√(A^2+B^2 )

Grupo 12

Hallar la distancia de la recta 4x-5y+10=0 al punto (2,-3)

4x-5y+10=0 P(2,-3)

d=(l〖(Ax〗_1+By+C)l)/√(A^2+B^2 )

d=(l4(2)+(-5)(-3)+10l)/(4^2+5^2 )=(l8+15+10l)/√41=33/√41

3. Los vértices de un triángulo son: A(-4,1) B(-3-3) C(3,-3). Hallar la longitud de la altura del vértice A sobre el lado BC y el área del triángulo.

m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )=(-3-3)/(3+3)=-1

y-y_1=m(x-x_1 ) y-3=-1(x+3) x+y=0

d=(l1(-4)+1(1)l)/√2=(l-4+1l)/√2=3/√2=(3√2)/2

BC=√((-3-3)^2+(3+3)^2 )=√(36+36)=√72=6√2

A=b(h)/2=(6√2 ((3√2)/2))/2=9u^2

Clase 5

Capítulo 4 del libro de Lehmann

-Ecuacion de la circunferencia en forma ordinaria

(x-h)^2+(〖y-k)〗^2=r^2

Centro (h,k) r=radio

diámetro=2(r)

-Circunferencia con centro en el origen. (x-0)^2+(〖y-0)〗^2=2^2

*Halla la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyo vértices son A(-1,1) B(3,5) C(5,-3)

Nota: La mediatriz de un triángulo, se intersecta en un punto cualquiera y determina una circunferencia que pasa por los vértices del triángulo.

P_1 P_2 m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1 )=(5-1)/(3+1)=4/4=1 y-1=(1x+1) x-y+2=0

P_2 P_3 m=(-3-5)/(5-3)=-8/2=-4

y-5=-4x+12 4x+y-17=0

(-1,1) (3,5)

〖 Pm〗_1 ((-1+3)/2,(1+5)/2)=(1,3)

(3,5) (5,-3)

〖Pm〗_2 ((3+5)/2,(5-3)/2)=(4,1)

{█(x+y-4=0 .(-4)@x-4y=0)┤

4x+4y-16=0 x-4y=0 5x-16=0 x=16/5

x+y-4=0 y=4-16/5 y=4/5

k=y h=x

(x-16/5)^2+(y-4/5)^2=(21/5)^2 √((x-16/5)^2+(y-4/5)^2=) 21/5

*Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (-3,-5>) y radio=7-

(x+3)^2+(y+5)^2=7^2

*Los extremos de una diámetro de una circunferencia son los puntios: A(2,3) y B(-4,5). Hallar la ecuación de la curva.

x ̅=(-4+2)/2=-1 y ̅=(5+3)/2=4 (-1,4)

d=√((-1-2)^2+(4-3)^2 )=√10

(x+1)^2+(y-4)^2=10

*Una circunferencia tiene su centro en el punto (0,-2) y es tangente a la recta 5x-12y+2=0.

m_1=-5/(-12)=5/12 m_2=12/5

y+2=-12/5 (x-0) 12x+5y+10=0

{█(5x-12y+2=0@12x+5y+10=0)┤

r=(l5(0)+12(2)+2l)/√(5^2+〖12〗^2 )=26/√169=2

x^2+(y+2)^2=4

*Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el P(-4,-1) y que es tangente a la recta 3x+2y-12=0.

x/(12/3)+y/(12/2)=1 (1,0) (0,6)

r=(l3(4)+2(1)+12)/√(3^2+2^2 )=2√3

(〖x+4)〗^2+(y+1)^2=〖(2√13)〗^2

Clase 5

Parábola

Es un lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recita fija situado en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.

Al punto se lo llama foco.

La recta fija se llama directriz de la parábola.

Nota: Esta definición excluye el caso en que el foco está sobre la directriz.

En la gráfica se representa al foco con la letra F mayúscula.

A la directriz con la letra L minúscula, al vértice con la letra v.

V o vértice es el punto medio del segmento AF.

A es el punto de intersección del eje de la parábola y de la directriz.

La recta a minúscula que pasa por F y es perpendicular a L se llama eje de la parábola.

Cuerda: se llama cuerda al segmento de la recta que une dos puntos cualquiera diferente a la parábola.

Cuerda focal: una cuerda que pasa por el foco se llama cuerda focal.

Cuando la cuerda focal es perpendicular a la recta se llama lado recto.

Si P es un punto cualquiera de la parábola, la recta FP que une al foco F con el punto P se llama radio focal de P o radio vector.

*Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje.

-La forma más simple para la ecuación de una parábola, es cuando su vértice está en el origen y su eje coincide con el eje x.

La definición de parábola es la siguiente:

-La distancia del foco al punto P debe ser igual a la distancia del punto P hacia la directriz.

X+F=0

(x + p)2 = (x – p)2 + y2

x2 + 2px + p2 = x2 – 2px + p2 + y2

x2 + 2px + p2 – x2 + 2px – p2 = y2

y^2=4FX

Nota: podemos considerar 2 casos: F>0, la parábola se abre a la derecha. F<0 la parábola se abre a la izquierda.

Determine la ecuación de la parábola si el vértice está en el origen y su eje coincide con el eje y.

P(x,y)

F(0,F)

√(x^2+(F-y)^2 )=√((x+F)^2 )

x+(F-y)^2=(x+F)^2

x^2+F^2-2Fy+y^2=x^2+2Fx+F^2

x=√4Fy

Si F>0 la parábola se abre hacia arriba. Si F<0 la parábola se abre hacia abajo.

Las ecuaciones x^2=4Fy y y^2=4Fx se la suelen llamar la primera ecuación ordinaria de parábola.

Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y F (3,0)

P(x,y) F(3,0)

l+F=0 l-3

x+3=0

lPFl=√((3-x)^2+y^2 )

(x+3)^2=√((3-x)^2+y^2 )

12x=y^2

lPll=(lx(3)+0+3)/√(A^2+B^2 )

lPll=x+3

Hallar la ecuación de la parábola del v en el origen y F(0,-3).

L=x l+F=0

y-3=0

lPFl= √(x^2+(y+3)^2 )

(y-3)^2=x^2+(y+3)^2

lPl=(l1(y)-3)/1=y-3

-6y-6y=x^2

x=√(-12y)

Hallar la ecuación de la parábola del v(0,0) y directriz de la recta y-5=0.

L: y=5 v(0,0) F(0,-5)

lPll=(l1(y)-5l)/1=y+5

lPFl=√(x^2+(y+5)^2 )

(y-5)^2=x^2+y^2+10y+25

x^2=-20y

Una cuerda de la parábola y^2-4x=0 es un segmento de la recta x-2y+3=0. Hallar su longitud.

x-2y+3=0

y^2-4x=0

x=-3+2y

y^2-4(-3+2y)=0

y^2-8y+12=0 (y-2)(y-6)=0

y_1=2 y_2=6

x=-3+2y

x=-3+2(2)

x_1=1 x_2=9

Clase 7

Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los vértices y los puntos extremos del lado recto de la parábola.

LR= 4p= 4(1)=4 A(-2,1) B(2,1) F(0,1)

x^2-4y=0

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2

(-2-h)^2+(1-k)^2=r^2

(2-h)^2+(1-k)^2=r^2

(-2-h)^2=〖(2-h)〗^2 8h=0 h=0 h^2+k^2=r^2 k^2=r^2 k=r (2-0)^2+〖(1-r)〗^2=r^2 r=5/2 x^2+〖(y-5/2)〗^2=〖5/2〗^2 x^2+y^2-5y=0

Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola x^2+8y=0 que es paralela a la recta 3x+4y-7=0.

F(0,-2) m=-3/4

y+2=-3/4 (x-0) 3x+4y+8=0

{█(x^2+8y=0@3x+4y+8=0 .(-2) )┤

x^2+8y=0

-6x-8y-16=0

x^2-6x-16=0

x=(-(-6)±√((-6)^2-4(1)(-16) ))/2(1) =8 y-2

3x+4y+8=0 3(8)+4y=-8 y=-32/4 y_1=-8

3(-2)+4y=-8 y_2=-1/2

P_1 (8,-8) P_2 (-2,-1/2)

d=√((-2-8)^2+(-1/2+8)^2 )=25/2

-En cada uno de los ejercicios hallar las coordenadas del F para la ecuación de la directriz y distancia del lado recto y discutir el lugar geométrico correspondiente.

a. y^2=12x

Foco y^2=4Fx

12=4F F=3 F(0,3) Ec.directriz x+3=0

Longitud del lado recto 4F=12

b. y^2+8x=0

Foco y^2=-8Fy F=-2 F(-2,0) Ec.directriz x-2=0

Longitud de lado recto

l4Fl=-8 F=2

c. x^2=12y

Foco 4F=12 F=3 F(0,3)

directris y+3=0

Longitud de lado recto l4Fl=12 F=3

d. x^2+2y=0

Foco x^2=-2y 4F=-2 F=-1/2 F(0,-1/2)

directris y+F=0 y-1/2=0

Longitud del lado recto l4Fl=-2 F=2/4 F=1/2

Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y F(3,0)

V(0,0) F(3,0) F=3

(y-h)^2=4F(x-k)

y^2=12x

Clase 8

Determinar la ecuación de la parábola que tiene su vértice en (h,k) y el eje del vértice es paralelo al eje coordenada de las x.

V(h,k) v(0,0)

X= x-h y=y-k

y^2=4Fx

〖(y-k)〗^2=4F(x-h)

Hallar la ecuación cuyo vértice es (-2,3) y el F(1,3). Hallar la ecuación de su directriz y la distancia de su lado recto.

V(-2,3) F(1,3) x+5=0

h+f=1 -2+F=1 F=3

LR: l4Fl= 4(3)= 12

F(h+F,k)

(y-3)^2=4(3)(x+2)

y^2-6y-12x-15=0

3) Hallar la ecuación de una parábola cuyo eje del vértice sea paralela al x, y que pase por los puntos (3,3) (6,5) (6,-3).

A(3,3)

(3-k)^2=4F(3-h)

k^2-6k-12F-4Fh=-9

B(6,5) (5-k)^2=4F(5-h) 25-10k+k^2=24F-4Fh

C(6,-3) (-3-k)^2=4F(3-h) 9+6k+k^2=24F-4Fh

{█(k^2-6k-12F-4Fh=-9 .(-1)@25-10k+k^2=24F-4Fh@ 9+6k+k^2=24F-4Fh )┤.(-1)

-9+6k-k^2=12F-4Fh

25-k+k^2=24F-4Fh

16-4k=12F

-25+10k-k^2=-24F+4Fh

9+6k+k^2=24F-4Fh

-16+16k=0 k=1

16-4k=12F

16-4(1)=12F

16-4=12F 12=12F F=12/12 F=1

9-6k+k^2=12F-4Fh

9-6+1=12-4h -8=-4h h=-8/(-4) h=2

(y-k)^2=4F(x-h)

(y-1)^2=4F(x-2)

y^2-2y-4x+9=0

*En cada uno de los ejercicios del 11 al 15 realizase la ecuación dada a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la parábola y hallar las coordenadas del v y F, las ecuaciones de la directriz y eje, y la longitud del lado recto.

1. 〖4y〗^2-48x-20y=71

〖4(y-5/2)〗^2=48(x+2)

(y-5/2)^2=12(x+2) 4F=12

F=3

v(-2,5/2) lLRl=12

directris x+7=0

2. 〖9x〗^2+24x+72y+16=0

9(x+4/3)^2=-72y

(x+43)^2=-8y

F=-8/4 F=-2

V(-4/3,0)

Directriz y+F=0 y-F=0

3. 〖4x〗^2+48y+12x=154

4(x^2+3/2)=168-48y

(x+3/2)^2=42-12y

(x+3/2)^2=-12(y-7/2)

4F=-12 F=-12/4 F=-3

LR=l4Fl LR=l4(-3)l=12

v(-3/2,7/2)

Directriz y-7=0

Matemáticas 1B

jueves, 17 de diciembre de 2015

Eduportfolio.org | Portafolio de Bolívar Daniel Guzmán Wong

Ejercicios de Lehmann grupo 27

martes, 15 de diciembre de 2015

Eduportfolio.org | Portafolio de Bolívar Daniel Guzmán Wong

Clases de matemáticas (2)